Twierdzenie Bayesa lub prawdopodobieństwo przyczyn

Twierdzenie Bayesa jest jednym z filarów rachunku prawdopodobieństwa . Jest to teoria wysunięta przez Thomasa Bayesa (1702-1761) w XVIII wieku. Ale jaki jest cel badań tego słynnego naukowca? Prawdopodobieństwo wyraża w procesie losowym stosunek liczby korzystnych przypadków do liczby możliwych przypadków.

Opracowano wiele teorii prawdopodobieństwa, które regulują nasze dzisiejsze istnienie. Kiedy idziemy do lekarza, przepisuje on lek, który najprawdopodobniej okaże się w naszym przypadku przydatny, tak jak reklamodawcy dedykują swoje kampanie osobom, które z największym prawdopodobieństwem kupią promowany przez nich produkt, lub turystom i podróżnym, którzy wybierają trasę, na której prawdopodobnie będzie najmniej kolejek.

Prawo całkowitego prawdopodobieństwa należy do najbardziej znanych, dlatego zanim zaczniemy mówić o Twierdzenie Bayesa będziemy musieli poświęcić kilka linijek wyjaśnieniu pierwszego. Aby spróbować to zrozumieć, wystarczy podać przykład .

Jakie jest prawdopodobieństwo (P), że jest to osoba wybrana losowo z populacji pracującej w tym kraju bezrobotni ?

Zgodnie z teorią prawdopodobieństwa dane można by wyrazić w następujący sposób:

• Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest kobietą: P (M)
• Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest mężczyzną: P (H)

Wiedząc, że 39% populacji stanowią kobiety, wnioskujemy, że: P (M) = 039.

Jasne jest zatem, że: P(H) = 1 – 039 = 061. Postawione na początku zadanie daje nam także prawdopodobieństwa warunkowe:

• Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest bezrobotna wiedząc, że jest kobietą -> P (P | M) = 022
• Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest bezrobotna wiedząc, że jest mężczyzną – P (P | H) = 014

Korzystanie z prawo całkowitego prawdopodobieństwa będziemy mieli:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

The . Zauważamy, że wynik znajduje się w połowie drogi między dwoma prawdopodobieństwami warunkowymi (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Odkryjmy twierdzenie Bayesa

Załóżmy teraz, że do wypełnienia formularza wybierana jest losowo osoba dorosła i okazuje się, że nie ma ona pracy. W tym przypadku i biorąc pod uwagę poprzedni przykład, jakie jest prawdopodobieństwo, że tą losowo wybraną osobą jest kobieta -P (M | P) -?

Aby rozwiązać ten problem, zastosujemy twierdzenie Bayesa który służy do obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia poprzez posiadanie informacji o nim z wyprzedzeniem . Możemy obliczyć prawdopodobieństwa zdarzenia A wiedząc, że spełnia ono określone cechy (B).

W tym przypadku mówimy o prawdopodobieństwie, że osobą wybraną losowo do wypełnienia formularza jest kobieta. Ale to

Wzór twierdzenia Bayesa

Jak każde inne twierdzenie potrzebujemy wzoru.

Wydaje się to skomplikowane, ale wszystko ma swoje wyjaśnienie. Pomyślmy fragmentarycznie. Co oznacza każda litera?

B to wydarzenieo których mamy wstępne informacje.
• L litera A (n) odnosi się do różnych uwarunkowanych zdarzeń.
• W części licznikowej mamy prawdopodobieństwo warunkowe . Odnosi się to do prawdopodobieństwa, że ​​coś (zdarzenie A) nastąpi, wiedząc, że nastąpi również inne zdarzenie (B). Definiuje się je jako P (A | B) i wyraża jako: Prawdopodobieństwo A przy danym B .
• W mianowniku mamy odpowiednik P (B) i to samo wyjaśnienie, co w poprzednim punkcie.

Przykład

Wracając do poprzedniego przykładu załóżmy, że do wypełnienia kwestionariusza wybrano losowo osobę dorosłą i zaobserwowano, że tak jest bezrobotni . Jakie są szanse, że wybraną osobą będzie kobieta?

Wiemy, że 39% aktywnej populacji to kobiety, podczas gdy pozostała część tak mężczyźni . Wiemy również, że odsetek bezrobotnych kobiet wynosi 22%, a mężczyzn 14%.

Wreszcie wiemy również, że prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest bezrobotna, wynosi 017. Jeśli zastosujemy wzór twierdzenia Bayesa, otrzymamy wynik, że istnieje prawdopodobieństwo 05, że losowo wybrana osoba spośród bezrobotnych

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Twierdzenie Bayesa wywodzi się z koniunkcji twierdzeń o prawdopodobieństwie złożonym i absolutnym, które wyjaśniliśmy na początku. Jego główną cechą jest to, że sprawdza się we wszystkich interpretacjach prawdopodobieństwa.

Ponieważ można go wykorzystać do obliczenia prawdopodobieństwa przyczyny, która wywołała zdarzenie jego znaczenie polega na historycznym wpływie na badanie statystyki . Obecnie znane są dwie główne szkoły (częstościowa i bayesowska), które kontrastują ze sobą, począwszy od interpretacji tej teorii.

Zamykamy ciekawostką: czy wiesz, że spam elektroniczny (tzn Internet reklamy e-mailowe) czy to działa dzięki twierdzeniu Bayesa?